بخش 1: مبانی و اصول اولیه متلب#

• مقدمه‌ای بر محیط متلب:
  • پنجره دستور (Command Window)
  • فضای کاری (Workspace)
  • ویرایشگر (Editor) و ایجاد فایل‌های اسکریپت (.m files)
  • پنجره راهنما (Help) و نحوه جستجوی موثر دستورات و توابع
• متغیرها، آرایه‌ها و ماتریس‌ها:
  • تعریف متغیرها و انواع داده‌های اصلی
  • ایجاد بردارها و ماتریس‌ها: مستقیم، با استفاده از عملگر کولون (:)، توابع linspace, logspace
  • اندیس‌گذاری و دسترسی به عناصر ماتریس‌ها
  • عملیات پایه‌ای روی ماتریس‌ها: جمع، تفریق، ضرب ماتریسی و ضرب درایه‌به‌درایه، ترانهاده، معکوس، دترمینان
• توابع ریاضی و داخلی مهم:
  • توابع مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی، قدر مطلق و …
  • توابع مربوط به ماتریس‌ها: size, length, sum, mean, diag, eye, zeros, ones, rand

بخش 2: برنامه‌نویسی در متلب#

• ترسیمات دوبعدی پایه:
  • دستور plot و سفارشی‌سازی اولیه: عنوان، برچسب محورها، لجند، شبکه (title, xlabel, ylabel, legend, grid)
  • ترسیم چندین نمودار روی یک شکل (hold on, hold off, subplot)

• فایل‌های اسکریپت (Script Files) و توابع (Function Files):
  • تفاوت اسکریپت و تابع
  • نحوه تعریف تابع، ورودی‌ها و خروجی‌ها
  • فضای کاری محلی توابع
• ساختارهای کنترل جریان:
  • دستورات شرطی: if-elseif-else, switch-case
  • عملگرهای رابطه‌ای و منطقی
• حلقه‌های تکرار:
  • حلقه for
  • حلقه while
  • دستورات break و continue
• ورود و خروج داده‌ها:
  • خواندن و نوشتن داده‌ها از/به فایل‌های متنی ساده (مانند .txt یا .csv) با توابع load و save یا dlmread/dlmwrite (در صورت وجود زمان)

بخش ۳: جعبه‌ابزار کنترل سیستم (Control System Toolbox)#

• نمایش سیستم‌های خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI):
  • تابع تبدیل (Transfer Function - TF):
    • ایجاد مدل تابع تبدیل با دستور tf
    • مشخص کردن صورت و مخرج
  • فضای حالت (State-Space - SS):
    • ایجاد مدل فضای حالت با دستور ss
    • مشخص کردن ماتریس‌های $A, B, C, D$
  • مدل صفر-قطب-بهره (Zero-Pole-Gain - ZPK):
    • ایجاد مدل ZPK با دستور zpk
  • تبدیل بین مدل‌های مختلف (tf, ss, zpk)
• اتصال سیستم‌ها:
  • اتصال سری (series یا عملگر *)
  • اتصال موازی (parallel یا عملگر +)
  • اتصال فیدبک (feedback)
• تحلیل پاسخ زمانی:
  • پاسخ پله (step) و تحلیل مشخصات آن (زمان صعود، زمان نشست، بیشینه جهش، زمان پیک)
  • پاسخ ضربه (impulse)
  • پاسخ به ورودی دلخواه (lsim)
  • دستور stepinfo برای استخراج مشخصات پاسخ پله
• تحلیل پاسخ فرکانسی:
  • نمودار بود (Bode plot) با دستور bode و margin
  • نمودار نایکوئیست (Nyquist plot) با دستور nyquist
  • نمودار نیکولز (Nichols chart) با دستور nichols
• تحلیل مکان هندسی ریشه‌ها (Root Locus):
  • ترسیم مکان هندسی ریشه‌ها با دستور rlocus
  • ابزار گرافیکی rltool (یا controlSystemDesigner) برای تحلیل و طراحی تعاملی
• استخراج اطلاعات از مدل‌ها:
  • قطب‌ها و صفرها (pole, zero, pzmap)
  • بهره حالت ماندگار (dcgain)

بخش ۴: طراحی مقدماتی کنترل‌کننده و شبیه‌سازی#

• مقدمه‌ای بر طراحی کنترل‌کننده‌های PID:
  • زیگلر نیکولز
  • مفهوم عملکرد بخش‌های تناسبی (P)، انتگرالی (I) و مشتقی (D)
  • ایجاد شیء PID با دستور pid
  • تنظیم دستی ضرایب PID و مشاهده اثر آن بر پاسخ سیستم حلقه بسته
  • استفاده از ابزار pidTuner برای تنظیم خودکار ضرایب PID (معرفی و یک مثال)
• شبیه‌سازی سیستم‌های حلقه بسته:
  • ساخت سیستم حلقه بسته با استفاده از توابع اتصال (مثلاً feedback)
  • تحلیل پاسخ زمانی و فرکانسی سیستم حلقه بسته
• مفاهیم پایداری:
  • بررسی پایداری از روی قطب‌ها، نمودار نایکوئیست و مکان هندسی ریشه‌ها
• مقدمه‌ای بر Simulink:
  • معرفی بسیار کوتاه محیط Simulink
  • ساخت یک مدل بلوکی ساده برای یک سیستم LTI و کنترل‌کننده PID
  • اجرای شبیه‌سازی و مشاهده خروجی با بلوک Scope

مدیریت محیط#

• clc: پاک کردن پنجره دستور (Command Window).
• clear: پاک کردن همه‌ی متغیرها از حافظه (Workspace).
  • clear A: فقط متغیر A را پاک می‌کند.
• who: نمایش لیست کوتاه نام متغیرها.
• whos: نمایش لیست متغیرها با جزئیات کامل (اندازه و نوع).
• close all: بستن تمام پنجره‌های نمودار (Figure).
• doc name: نمایش راهنمای کامل و جامع دستور name (بهتر از help).

ساخت ماتریس و بردار#

• : (کولون): ساخت دنباله عددی با گام ثابت. (مثال: 1:2:10)
• linspace(a, b, n): ساخت بردار با n نقطه بین a و b (فاصله‌ها یکسان).
• logspace(a, b, n): ساخت بردار با n نقطه بین $10^a$ و $10^b$ (فاصله‌ها لگاریتمی).
• zeros(m, n): ساخت ماتریس m×n با تمام درایه‌های صفر.
• ones(m, n): ساخت ماتریس m×n با تمام درایه‌های یک.
• eye(n): ساخت ماتریس همانی n×n (قطر اصلی ۱، بقیه صفر).
• rand(...): اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت (بین ۰ و ۱).
• randn(...): اعداد تصادفی با توزیع نرمال (گوسی).
• randi([min, max], ...): اعداد صحیح تصادفی در یک بازه مشخص.

توابع ریاضی و محاسباتی#

• ضرب ماتریسی (*): ضرب استاندارد ماتریس‌ها طبق قوانین ریاضی.
• ضرب درایه‌به‌درایه (.*): ضرب هر عنصر در عنصر متناظرش. (برای توان و تقسیم هم .^ و ./ وجود دارد).
• A' (ترانهاده): جابجایی سطر و ستون ماتریس A.
• inv(A): محاسبه معکوس ماتریس A.
• det(A): محاسبه دترمینان ماتریس A.
• sum, mean, max, min: توابع آماری که به طور پیش‌فرض روی ستون‌ها عمل می‌کنند.
  • sum(A, 2): مجموع سطرها.
  • sum(A, 'all'): مجموع کل عناصر.
• round, floor, ceil: توابع گرد کردن (به ترتیب: به نزدیک‌ترین، به پایین، به بالا).
• mod(a, m): محاسبه باقیمانده تقسیم a بر m.

دستورات ترسیم نمودار (Plotting)#

• plot(x, y): دستور اصلی برای ترسیم نمودار دوبعدی y بر حسب x.
• plot(x, y, '--r*'): ترسیم نمودار با استایل سفارشی (خط‌چین قرمز با نشانگر ستاره).
• title('...'): افزودن عنوان به بالای نمودار.
• xlabel('...'): تعیین برچسب برای محور افقی (x).
• ylabel('...'): تعیین برچسب برای محور عمودی (y).
• grid on: فعال کردن خطوط راهنمای شبکه‌ای روی نمودار.
• legend('A', 'B'): ایجاد راهنما برای تشخیص نمودارهای مختلف در یک تصویر.
• hold on: نگه داشتن نمودار فعلی تا نمودارهای بعدی روی همان محور رسم شوند.
• hold off: غیرفعال کردن حالت hold on.
• figure: ایجاد یک پنجره جدید برای رسم نمودار.
• subplot(m, n, p): تقسیم پنجره به m سطر و n ستون و انتخاب خانه p برای رسم نمودار بعدی.

اسکریپت در مقابل تابع (Script vs. Function)#

• اسکریپت (Script):

  • یک فایل .m حاوی مجموعه‌ای از دستورات.
  • روی فضای کاری اصلی (Base Workspace) عمل می‌کند (متغیرها بعد از اجرا باقی می‌مانند).
  • ورودی و خروجی رسمی ندارد.
  • برای اجرای یک سری کارهای پشت سر هم استفاده می‌شود.

• تابع (Function):

  • یک فایل .m که با کلمه کلیدی function شروع می‌شود.
  • فضای کاری محلی و ایزوله خود را دارد (متغیرهای داخلی بعد از اجرا از بین می‌روند).
  • ورودی و خروجی مشخص و رسمی دارد.
  • برای ساخت ابزارهای ماژولار و قابل استفاده مجدد ایده‌آل است.
  • نکته مهم: نام فایل باید دقیقاً با نام تابع یکسان باشد.

• disp('...'): نمایش یک متن یا مقدار متغیر در پنجره دستور.

دستورات کنترلی و منطقی#

• **عملگرهای رابطه‌ای: > (بزرگتر)، < (کوچکتر)، == (برابر)، ~= (نابرابر).

• عملگرهای منطقی: && (و منطقی)، || (یا منطقی)، ~ (نقیض).

• if-elseif-else: ساختار شرطی برای تصمیم‌گیری و اجرای کد بر اساس درست یا غلط بودن یک شرط.
• switch-case: ساختار شرطی بهینه‌تر برای مقایسه یک متغیر با چندین مقدار مشخص و گسسته.
• input('پیام'): نمایش یک پیام و دریافت ورودی از کاربر.

حلقه‌های تکرار#

• for: حلقه تکرار که برای تعداد دفعات مشخص اجرا می‌شود (مثلاً پیمایش اعضای یک بردار).
  • length(vector): طول (تعداد اعضای) یک بردار را برمی‌گرداند.
• while: حلقه تکرار که تا زمانی که یک شرط برقرار باشد به اجرا ادامه می‌دهد.
• break: دستور خروج فوری از حلقه‌ی for یا while.
• continue: توقف تکرار فعلی و پرش به ابتدای تکرار بعدی حلقه.

ورودی و خروجی داده#

• save('file.mat', 'var1', ...): ذخیره متغیرهای مشخص شده در یک فایل باینری متلب (.mat).
• load('file.mat'): بارگذاری متغیرها از یک فایل .mat به فضای کاری.
• writematrix(A, 'file.csv'): نوشتن یک ماتریس (A) در یک فایل متنی مانند csv. (مناسب برای اکسل).
• readmatrix('file.csv'): خواندن داده‌های عددی از یک فایل متنی و وارد کردن آن به عنوان یک ماتریس.

ساخت مدل‌های سیستم LTI#

• tf(num, den): ساخت مدل تابع تبدیل (Transfer Function).
• s = tf('s'): روش ساده‌تر برای نوشتن توابع تبدیل به صورت جبری.
• ss(A, B, C, D): ساخت مدل فضای حالت (State-Space).
• zpk(Z, P, K): ساخت مدل صفر-قطب-بهره (Zero-Pole-Gain).
• tf(sys)، ss(sys)، zpk(sys): تبدیل یک مدل به نمایش دیگر.

اتصال و ترکیب سیستم‌ها#

• G2 * G1: اتصال سری (Series).
• G1 + G2: اتصال موازی (Parallel).
• feedback(G, H): اتصال فیدبک منفی با مسیر پیش‌رو G و مسیر بازخورد H.

تحلیل پاسخ زمانی#

• step(sys): رسم و تحلیل پاسخ پله (Step Response).
• impulse(sys): رسم و تحلیل پاسخ ضربه (Impulse Response).
• stepinfo(sys): استخراج مشخصات عددی پاسخ پله (زمان نشست، بیشینه جهش و…).
• lsim(sys, u, t): شبیه‌سازی پاسخ سیستم به یک ورودی دلخواه u.

تحلیل پاسخ فرکانسی#

• bode(sys): رسم نمودار بود (Bode plot) برای تحلیل اندازه و فاز.
• margin(sys): نمایش حاشیه بهره (Gain Margin) و حاشیه فاز (Phase Margin) روی نمودار بود.
• nyquist(sys): رسم نمودار نایکوئیست برای تحلیل پایداری.

تحلیل مکان هندسی ریشه‌ها#

• rlocus(sys): رسم مکان هندسی ریشه‌ها (Root Locus) برای تحلیل اثر تغییر بهره.
• controlSystemDesigner(sys): باز کردن ابزار گرافیکی و تعاملی برای طراحی کنترلر.

استخراج اطلاعات از مدل#

• pole(sys): پیدا کردن قطب‌های سیستم.
• zero(sys): پیدا کردن صفرهای سیستم.
• pzmap(sys): رسم نقشه قطب-صفر در صفحه مختلط.
• dcgain(sys): محاسبه بهره حالت ماندگار سیستم (پاسخ نهایی به ورودی پله).

مبانی کنترل‌کننده PID#

• بخش تناسبی (P - Proportional):

  • کارکرد: واکنش به خطای لحظه‌ای.
  • اثر: افزایش سرعت پاسخ. ممکن است باعث خطای حالت ماندگار شود.

• بخش انتگرالی (I - Integral):

  • کارکرد: واکنش به مجموع خطاهای گذشته.
  • اثر: حذف کامل خطای حالت ماندگار. افزایش بیش از حد آن باعث نوسان (Overshoot) می‌شود.

• بخش مشتقی (D - Derivative):

  • کارکرد: پیش‌بینی رفتار آینده خطا (مثل یک ترمز).
  • اثر: کاهش نوسان و بهبود پایداری. به نویز حساس است.

• روش زیگلر-نیکولز (Ziegler-Nichols):

  • یک روش تجربی و کلاسیک برای پیدا کردن یک نقطه شروع مناسب برای ضرایب PID. مقادیر آن بهینه نیستند و نیاز به تنظیم دقیق‌تر دارند.

پیاده‌سازی در متلب و تحلیل پایداری#

• pid(Kp, Ki, Kd): دستور اصلی برای ایجاد یک شیء کنترل‌کننده PID در محیط متلب.
• pidTuner(P, 'pid'): باز کردن ابزار گرافیکی و خودکار متلب برای تنظیم بهینه ضرایب PID برای پلانت P.
  • اسلایدر Response Time: برای سریع‌تر یا کندتر کردن پاسخ سیستم.
  • اسلایدر Transient Behavior: برای تنظیم بین پاسخ تهاجمی (Aggressive) و مقاوم (Robust).
  • دکمه Export: برای صادر کردن کنترلر طراحی‌شده به محیط کاری (Workspace) متلب.
• feedback(C*P, 1): ساخت سیستم حلقه-بسته با فیدبک واحد از کنترلر C و پلانت P.
• تحلیل پایداری از روی قطب‌ها:
  • یک سیستم پایدار است اگر بخش حقیقی تمام قطب‌های حلقه-بسته آن منفی باشد.
  • pole(T): دستور پیدا کردن قطب‌های سیستم حلقه-بسته T.
  • pzmap(T): رسم نقشه قطب-صفر برای مشاهده گرافیکی مکان قطب‌ها.

شبیه‌سازی در Simulink#

• simulink: دستوری که محیط سیمولینک را باز می‌کند.

بلوک‌های کلیدی در Simulink:

• Step: منبع سیگنال برای ایجاد یک ورودی پله واحد.
• Transfer Fcn: بلوکی برای تعریف یک سیستم از طریق تابع تبدیل آن.
• Scope: نمایشگر خروجی برای مشاهده سیگنال‌ها (مانند یک اسیلوسکوپ).
• Sum: بلوک جمع‌کننده. برای فیدبک منفی، ورودی‌های آن را روی |+- تنظیم می‌کنیم تا خطا را محاسبه کند.
• PID Controller: بلوک اختصاصی برای کنترل‌کننده PID. ضرایب P, I, D را می‌توان مستقیماً در آن وارد کرد.
• Mux (Multiplexer): برای ادغام چند سیگنال در یک خط و نمایش همزمان آن‌ها روی یک Scope.

مراحل ساخت مدل حلقه-بسته در Simulink:

1. ورودی مرجع: از بلوک Step استفاده کنید.
2. محاسبه خطا: خروجی Step را به ورودی + بلوک Sum و خروجی نهایی سیستم را به ورودی - آن وصل کنید.
3. اعمال کنترلر: خروجی Sum (که همان خطا است) را به ورودی بلوک PID Controller وصل کنید.
4. اعمال به پلانت: خروجی PID Controller را به ورودی بلوک Transfer Fcn (پلانت) وصل کنید.
5. مشاهده خروجی: خروجی Transfer Fcn را به Scope وصل کنید تا پاسخ نهایی را ببینید.
6. اجرا: روی دکمه Run (▶️) کلیک کنید تا شبیه‌سازی اجرا شود.

• نکته مهم: دکمه Tune… در تنظیمات بلوک PID Controller، ابزار pidTuner را مستقیماً از داخل سیمولینک باز می‌کند.

سوال 1: ساخت و محاسبات ماتریسی#

• یک ماتریس A با ابعاد 4x4 بسازید که شامل اعداد صحیح 1 تا 16 باشد.
• یک ماتریس همانی B با ابعاد 4x4 بسازید و سپس تمام درایه‌های آن را در عدد 5 ضرب کنید.
• با استفاده از اندیس‌گذاری، ستون سوم ماتریس A را استخراج کرده و در متغیری به نام col_A ذخیره کنید.
• حاصل دو عملیات زیر را محاسبه کرده و در متغیرهای C1 و C2 ذخیره کنید:
  • C1 = A .* B (ضرب درایه‌به‌درایه)
  • C2 = A * B (ضرب ماتریسی)
• به طور خلاصه در یک کامنت (با علامت %) توضیح دهید که چرا مقادیر C1 و C2 با یکدیگر متفاوت هستند.

سوال 2: تحلیل داده‌های ساده#

ماتریس زیر بیانگر میزان فروش (به میلیون تومان) سه محصول مختلف در چهار ماه اول سال است. هر سطر نمایانگر یک ماه و هر ستون نمایانگر یک محصول است.

sales = [22 35 15; 25 38 18; 30 40 20; 28 33 17];

• اسکریپتی بنویسید که مجموع فروش هر محصول در این چهار ماه را محاسبه و نمایش دهد.
• میانگین فروش هر محصول در این چهار ماه چقدر بوده است؟
• مجموع کل فروش در ماه سوم چقدر بوده است؟ (مجموع درایه‌های سطر سوم)
• د) با استفاده از تابع size، تعداد ماه‌ها و تعداد محصولات را از ماتریس استخراج کرده و در خروجی با دستور disp نمایش دهید.

سوال 3: پروژه کنترلر PID برای سروو موتور#

برای پلانت یک سروو موتور با تابع تبدیل $P(s) = \frac{1.5}{s(s+1)(s+5)}$، یک کنترلر PID طراحی کنید به طوری که پاسخ پله حلقه-بسته آن دارای بیشینه جهش (Overshoot) کمتر از ۱۰٪ و زمان نشست (Settling Time) کمتر از ۲.۵ ثانیه باشد.

• در متلب، با استفاده از ابزار pidTuner کنترلر بهینه را پیدا کرده و آن را به Workspace منتقل کنید.
• پاسخ پله سیستم نهایی را با step رسم کرده و با stepinfo و margin مشخصات زمانی و پایداری آن را تأیید کنید.
• در Simulink، همان سیستم حلقه-بسته را با ضرایب PID بدست آمده شبیه‌سازی کرده و خروجی Scope را با نمودار step متلب مقایسه کنید تا از صحت کار خود مطمئن شوید.

سوال 4: پروژه سرکوب اغتشاش#

برای پلانت $P(s) = \frac{10}{s^2 + 3s + 10}$ که در ورودی آن یک اغتشاش پله (d) وارد می‌شود، یک کنترلر PI طراحی کنید به طوری که حاشیه فاز (Phase Margin) سیستم حلقه-باز حداقل ۶۰ درجه باشد. هدف اصلی، تحلیل و مشاهده توانایی کنترلر در سرکوب اغتشاش است.

• در متلب، ضرایب یک کنترلر PI را طوری تنظیم کنید که شرط حاشیه فاز برآورده شود.
• تابع حساسیت ($S = 1/(1+C*P)$) که نشان‌دهنده اثر اغتشاش بر خروجی است را محاسبه کرده و پاسخ پله آن را تحلیل کنید.
• در Simulink، مدل حلقه-بسته را همراه با یک بلوک Step برای اغتشاش (که بعد از کنترلر و قبل از پلانت اضافه می‌شود) بسازید.
• شبیه‌سازی را اجرا کرده و مشاهده کنید که کنترلر چگونه پس از ورود اغتشاش، خروجی را به حالت مطلوب بازمی‌گرداند. این رفتار را با تحلیل تابع حساسیت در متلب مقایسه کنید.